数学建模论文范文(数学建模论文范文100篇)

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数学论文范文参考

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　数学论文范文参考，说到论文相信大家都不陌生，在生活中或多或少都有接触过一些论文，很多时候论文的撰写是不容易的，写一份论文要参考很多的文献，接下来我和大家分享数学论文范文参考。

　 论文题目： 学生自主学习能力培养提升小学数学课堂教学效果

　 摘要： 在新课程理念的指引下，小学数学课堂呈现充满教育契机的、富有挑战性的新气象，在注重小学生全面发展的能力培养下，对小学生自主学习能力、交流合作能力和创新思维能力的培养成为教育重点，这要求教师具有教学的智慧，对学生有深入的了解，在这样的教育氛围之下，才可以培养出学生的创意想象和创造性、探究性思维，在自主学习的过程中增强知识性的体验，创设出最佳的课堂效果。

　 关键词： 自主学习能力;创新思维;小学数学

　在全新的教育理念下，教育视角由原来的“要我学习”转为了“学会学习”，教师在对小学生能力培养的过程中，注重小学生全面素质的培养，包括自主学习能力和创新思维能力，使小学数学的教学课堂展现出主动参与的学习过程，数学课堂在学生的主体行为下显露出智慧的光芒，这就需要教师在教学过程中要采用适合小学生的方式和策略，注重学生学习的过程，而不是学习的结果，发挥出小学生自主探索和自由发现的天性，促进学生健康全面的发展。

　 一、小学数学教学中的现状及反思

　小学生由于其年龄特点和个性特征，呈现出对新异、生动的事物有强烈好奇的兴趣，而且大多数小学生都有强烈的求知欲、自尊心和好胜心。教师在教学过程中要根据小学生的年龄特点和个性，培养学生的自主学习能力，但是，目前小学数学教学尚存在些许不足，需要我们加以反思。

　 (一)情境教学中过多地引入情境，丧失了教学目标

　一些数学教师在课堂引入时，过多地运用了情境，而分散了小学生的注意力。如：在课堂导入时，教师突发奇想，要用“喜羊羊与灰太狼”作为课堂导入情境，学生睁大眼睛，竖起耳朵，开展了斗智斗勇的想象，却忘记了教师是在上数学课。又如：在一年级《加减混合》的数学计算中，教师想用“春游”作为情境导入数学课堂，可是在运用情境时过多地介绍了风景，使学生沉溺于风景的想象中而偏离了数学课堂的传授目标，缺失了数学教学目的。

　 (二)成人化的想象对小学生缺乏新奇的吸引性

　数学教师在进行教学课堂的情境创设时，用成人的眼光和视角去进行设想，忽视了童趣和纯真的眼睛，简单的情境创设平淡无奇，缺乏挑战性。例如：在小学数学教学中《7的乘法口诀》一课，教师用“一个星期有几天”来进行问题式的课堂导入，这对于学生而言缺乏新奇，对乘法口诀也缺乏记忆。

　 (三)课堂教学中“数学味”的弱化和缺失

　在小学数学的教学课堂中，教师利用各种情境创设导入教学，却没有及时地将情境引入到数学知识的学习当中，弱化了数学学科所应有的“数学味”，使学生自主性学习的兴趣降低。如：在《统计》的数学知识教学中，教师通过分组教学的形式，让学生开展讨论和记录，可是学生们却停留在小组成员间体重的比较讨论等内容，而没有真正进入到数学统计知识的学习之中来。

　 二、自主学习的概念及其重要性

　在小学数学的教学中，学生要通过能动的创造性活动，在教师的指导为前提下实现以学生为主体的良性发展。学生可以通过多种途径和手段，自主地有选择地学习，并创造性对所学的知识进行整合和内化，从而达到自主学习能力水平。小学生进行自主学习的重要性主要体现在以下几方面。

　 (一)提高数学知识吸收的质量

　自主学习的方式是积极主动的方式，是小学生进行自主习惯的培养方式，它在激起求知欲望的前提下，转化为认知的内驱力，激发出学习的内在动机，并将之内化为学习习惯，真正提高数学知识吸收的主动性。

　 (二)为后续的数学知识学习奠定基础

　小学阶段是数学知识学习的起始阶段，在这一关键阶段中，要培养学生的自主学习习惯，用他们自发的数学学习兴趣和自主发现的能力，掌握学习数学知识的策略，为后续数学更高层次的学习奠定基础。

　 (三)自主发现和自主学习能力的培养

　小学生多数都有一双好奇的眼睛，他们对周围的世界很好奇，也拥有自主发现的能力，在这一过程中，对其自主发现的能力挖掘越多，那么，学生自主学习的能力就越强，自主学习的习惯就容易产生知识性的迁移。

　 三、自主性学习的小学数学课堂教学策略

　小学数学的自主性学习课堂教学充分发挥了学生的主体性，以学生的自主探究和实践能力和创新思维能力为宗旨，在良好的教学氛围和自主参与的环境下，实现多种形式的自主性学习，在不同的活动中获取数学知识，掌握小学数学知识学习的一般规律和学习方法。

　 (一)数学课堂有效导入，激发学生的自主参与性

　合适而有效的数学情境导入，是进行高效数学课堂的有效方法和途径，要在课堂导入的过程中创造良好的氛围，用宽松、愉悦、智慧的方式激发学生对数学知识的自主性学习过程，其具体方法如下。

　1、以生活为教学情境进行数学知识的迁移。生活是无痕的，生活对学生的体验是最深刻的体验，而“生活中的数学”与“数学中的生活”又是紧密相联和息息相关的，学生在生活的体验中感知到数学的价值，可以在身临其境的体会中感受到数学的奥妙，数学情境的生活度越高，学生内在的生活体验越容易被激活，数学知识掌握的程度就越深。例如：在“人民币的认识”教学中，让学生们进行分组进行人民币的购买情境，把不同的物品贴上不同的价格标签，再由分组的学生进行不同面值的假人民币的购买情境，使学生在购买的过程中体会到数字的变换。[1]

　2、 以游戏为教学情境激发学生的自主性参与意识。游戏环节是小学生最乐于参与和互动的环节，数学教学可以适当地引入游戏环节，使小学生增强对数学知识的学习兴趣，感受到数学探索的成功体验。如：在小学50以内的加法练习中，不是单纯让学生进行数字的相加，而可以采用“邮递员送信”游戏的形式，增添学生的学习自主性，教师可以事先准备好标有不同两位数的信箱，并准备不同加法练习题的信封，选择几名学生作“送信邮差”，将这些信封和信箱匹配，学生在争先恐后的选择中掌握了数学知识，它犹如一块无形的磁石，深深地吸引着小学生的数学知识的注意力，增强了趣味性和主动性。

　3、以故事导入引导学生进行自主性的学习。小学生都酷爱故事，因此教学中可以利用故事增加数学的趣味性，引导学生用创意的思维想象，进行自主性的学习。例如：在一年级的数学“10以内的数字”的教学中，为了让学生建立起数字的相关概念的学习，可以引入故事进行形象的学习：在0~9的数字王国里，数字9发现自己是最大的，于是就很神气和骄傲，它对其他数字说：“你们都是小不点儿，都比我小，所以你们都要听我的。”其他的数字为了消灭它的嚣张气焰，商量好让数字1和0组成一个新的两位数，数字9看到后低下了头，意识到了自己的错误，于是，再也不狂妄自大了，和大家成为了好朋友。学生们在教师故事的讲述中，也展开了对数字的思维和想象，认识到了10以内数字的基数、序数意义，进行自主性的认知学习。[2]

　作为工科类大学公共课的一种，高等数学在学生思维训练上的培养、训练数学思维等上发挥着重要的做用。进入新世纪后素质教育思想被人们越来越重视，如果还使用传统的教育教学方法，会让学生失去学习高等数学的积极性和兴趣。以现教育技术为基础的数学建模，在实际问题和理论之间架起沟通的桥梁。在实际教学的过程中，高数老师以课后实验着手，在高等数学教学中融入数学建模思想，使用数学建模解决实际问题。

　 一、高等数学教学的现状

　 ( 一) 教学观念陈旧化

　就当前高等数学的教育教学而言，高数老师对学生的计算能力、思考能力以及逻辑思维能力过于重视，一切以课本为基础开展教学活动。作为一门充满活力并让人感到新奇的学科，由于教育观念和思想的落后，课堂教学之中没有穿插应用实例，在工作的时候学生不知道怎样把问题解决，工作效率无法进一步提升，不仅如此，陈旧的教学理念和思想让学生渐渐的失去学习的兴趣和动力。

　 ( 二) 教学方法传统化

　教学方法的优秀与否在学生学习的过程中发挥着重要的作用，也直接影响着学生的学习成绩。一般高数老师在授课的时候都是以课本的顺次进行，也就意味着老师“由定义到定理”、“由习题到练习”，这种默守陈规的教学方式无法为学生营造活跃的学习氛围，让学生独自学习、思考的能力进一步下降。这就要求教师致力于和谐课堂氛围营造以及使用新颖的教育教学方法，让学生在课堂中主动参与学习。

　 二、建模在高等数学教学中的作用

　对学生的想象力、观察力、发现、分析并解决问题的能力进行培养的过程中，数学建模发挥着重要的作用。最近几年，国内出现很多以数学建模为主体的赛事活动以及教研活动，其在学生学习兴趣的提升、激发学生主动学习的积极性上扮演着重要的角色，发挥着突出的作用，在高等数学教学中引入数学建模还能培养学生不畏困难的品质，培养踏实的工作精神，在协调学生学习的知识、实际应用能力等上有突出的作用。虽然国内高等院校大都开设了数学建模选修课或者培训班，但是由于课程的要求和学生的认知水平差异较大，所以课程无法普及为大众化的教育。如今，高等院校都在积极的寻找一种载体，对学生的整体素质进行培养，提升学生的创新精神以及创造力，让学生满足社会对复合型人才的需求，而最好的载体则是高等数学。

　高等数学作为工科类学生的一门基础课，由于其必修课的性质，把数学建模引入高等数学课堂中具有较广的影响力。把数学建模思想渗入高等数学教学中，不仅能让数学知识的本来面貌得以还原，更让学生在日常中应用数学知识的能力得到很好的培养。数学建模要求学生在简化、抽象、翻译部分现实世界信息的过程中使用数学的语言以及工具，把内在的联系使用图形、表格等方式表现出来，以便于提升学生的表达能力。在实际的学习数学建模之后，需要检验现实的信息，确定最后的结果是否正确，通过这一过程中的锻炼，学生在分析问题的过程中可以主动地、客观的辩证的运用数学方法，最终得出解决问题的最好方法。因此，在高等数学教学中引入数学建模思想具有重要的意义。

　 三、将建模思想应用在高等数学教学中的具体措施

　( 一) 在公式中使用建模思想

　在高数教材中占有重要位置的是公式，也是要求学生必须掌握的内容之一。为了让教师的教学效果进一步提升，在课堂上老师不仅要让学生对计算的技巧进一步提升之余，还要和建模思想结合在一起，让解题难度更容易，还让课堂氛围更活跃。为了让学生对公式中使用建模思想理解的更透彻，老师还应该结合实例开展教学。

　 ( 二) 讲解习题的时候使用数学模型的方式

　课本例题使用建模思想进行解决，老师通过对例题的讲解，很好的讲述使用数学建模解决问题的方式，让学生清醒的认识在解决问题的过程中怎样使用数学建模。完成每章学习的内容之后，充分的利用时间为学生解疑答惑，以学生所学的专业情况和学生水平的高低选择合适的例题，完成建模、解决问题的全部过程，提升学生解决问题的效率。

　 ( 三) 组织学生积极参加数学建模竞赛

　一般而言，在竞赛中可以很好地锻炼学生竞争意识以及独立思考的能力。这就要求学校充分的利用资源并广泛的宣传，让学生积极的参加竞赛，在实践中锻炼学生的实际能力。在日常生活中使用数学建模解决问题，让学生独自思考，然后在竞争的过程中意识到自己的不足，今后也会努力学习，改正错误，提升自身的能力。

　 四、结束语

　高等数学主要对学生从理论学习走向解决实际问题的能力进行培养，在高等数学中应用建模思想，促使学生对高数知识更充分的理解，学习的难度进一步降低，提升应用能力和探索能力。当前，在高等教学过程中引入建模思想还存在一定的不足，需要高校高等数学老师进行深入的研究和探索的同时也需要学生很好的配合，以便于今后的教学中进一步提升教学的质量。

　 参考文献:

　〔1〕 谢凤艳，杨永艳． 高等数学教学中融入数学建模思想〔J〕． 齐齐哈尔师范高等专科学校学报，2014 ( 02) : 119 －120．

　〔2〕 李薇． 在高等数学教学中融入数学建模思想的探索与实践〔J〕． 教育实践与改革，2012 ( 04) : 177 －178，189．

　〔3〕 杨四香． 浅析高等数学教学中数学建模思想的渗透 〔J〕．长春教育学院学报，2014 ( 30) : 89，95．

　〔4〕 刘合财． 在高等数学教学中融入数学建模思想 〔J〕． 贵阳学院学报，2013 ( 03) : 63 －65．

　 浅谈高中数学文化的传播途径

　 一、结合数学史，举办文化讲座

　数学史教育对于了解数学这一门学科起着重要作用、数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录，因为数学的发展绝不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至会面临危机;数学史也是数学家们克服困难和战胜危机的斗争记录，讲座中介绍重要的数学思想，优秀的数学成果，相关人事，使学生了解数学发展中每一步艰辛的历程，有助于培养学生坚忍不拔、不懈努力的意志和正直诚实的品质、比如，通过举办文化讲座向学生介绍“数学历史上三次危机”、“百牛定理”的来历、“哥德巴赫猜想与进展”、“数学悖论产生的原因及解决”、杨辉三角及中国古代数学成就、概率的发展、数学思想方法史等;向学生介绍一些数学大奖、数学界的名题，如数学界的“诺贝尔奖”———菲尔兹奖、沃尔夫奖、华罗庚数学奖、波利亚数学奖、高斯数学奖等，这种润物细无声的教育将激励学生个人的发展愿望、此外，介绍数学史上的重大事件，如无理数的产生引起的争论及代价、无穷小量是零非零的争论、康托尔集合论的论争等等，启发学生体会到，坚持学术争论有利于促进科学理论的完善与发展、

　 二、结合教学内容，穿插数学故事

　数学故事引人入胜，能激起学生的某种情感、兴趣，激励学生积极向上、教师平时应注意收集与数学内容有关的数学故事，在讲到相关内容时，穿插到课堂教学中，通过向学生展现数学知识产生的背景、数学的思想方法、数学家追求真理的科学精神，让数学文化走进课堂，不失时机地通过数学家的故事来启迪学生、激励学生，对学生进行人文价值教育;在新课引入中，可以从概念、定理、公式的发展和完善过程，数学名人趣闻轶事，概念的起源，定理的发现，历史上数学进展中的曲折历程，以及提供一些历史的、现实的真实“问题”引入新课，一个精彩的引入不仅能够活跃课堂气氛，激发学生的学习情趣，降低数学学习的难度，还可以拓宽学生的视野，培养学生全方位的思维能力和思考弹性，使数学成为一门不再是枯燥呆板，而是生动有趣的学科、例如在讲欧拉公式时，介绍欧拉传奇的一生，欧拉解决该问题时的奇思妙想，特别是其双目失明后的贡献，用数学大师的人格魅力感染学生;讲解析几何时介绍“笛卡尔和费马”两位数学家在创立这门学科过程中的主要贡献，学生可以从中了解解析几何学产生的历史背景，数学家的成长经历，感受数学名人的执着信念，汲取宝贵的数学精神;在讲到相关内容时，介绍华罗庚、陈景润、苏步青、杨乐、陈省身、丘成桐等中国近现代数学家的奋斗历程和数学成就，让学生在感受数学家艰辛劳动的同时激发起民族自豪感、

　 三、结合生活实际，例解数学问题

　作为工具学科的数学与日常生活息息相关，数学教师必须考虑数学与生活之间的联系，要把数学与现实生活联系在一起，将某个生活中的问题数学化，才能使数学知识的运用得到升华，帮助学生获得富有生命力的数学知识，引导学生用数学的眼光观察世界，进而使学生认识到学习数学的重要性和必要性、教学活动中可以引用贴近学生生活的事例，创设接近学生的认知水平和生活实际的数学问题情境，让学生认识到数学就在我们身边，在我们的生活中、例如，在讲等比数列求和公式时，可以列举其在贷款购房中的应用;从“条形码”、“指纹”等学生熟悉的`生活实例深入浅出地解释抽象的映射概念，同时引导学生寻找生活中的映射，钥匙对应锁、学号对应学生等;在讲概率时，列举其在**方面的应用等;在讲“指数函数”时让学生了解考古学家是怎样利用合金的比例来测量青铜器的年代;在讲“双曲线方程”时，可结合工业生产中的双曲线型冷却塔、北京市修建的双曲线型通道和法国标志性建筑埃菲尔铁塔，让学生体验双曲线方程的应用价值;另外，分期付款问题、数学成绩与近视眼镜片度数的关系、银行存款与购买保险哪个收益更高、住房按揭、股市走势图、价格分析表等与人们的生活密切相关的问题，通过对这些问题的解答，使学生感受到数学是有用的，它源于生活用于生活，学会用数学的眼光看待生活中的问题，用数学的头脑分析生活中的问题、

　 四、结合其他学科，共享文化精华

　科技发展迎来了各学科间的相互渗透、交叉与融合，尤其在当代，数学的影响已经遍及人类活动的各个领域、数学教师要注重数学和其他学科的联系，在教学活动中，努力寻找数学与其他学科的结合点，实现数学领域向非数学领域的迁移，最大限度地达到文化共享、可以通过以人物为线索、以数学题材为线索、以史料书籍为线索、以数学符号为线索、以现实生活为线索等多种途径挖掘数学文化资源;可以将封闭的教材内容开放化，把封闭的概念、公式、法则等分解成若干“小板块”，设计一些开放性的问题让学生探索，将书本知识拓宽到书外，与其他文化知识融为一体、实践证明，当老师讲些“活数学”或者把数学与哲学、美学、经济以及其他文化艺术相联系时，学生就表现出极大的兴趣和热情、例如，讲“统计”时，可结合遗传学和法庭依据DNA、指纹印或性格分析等;讲解三角函数内容时，可以介绍三角学的起源与发展，说明对航海、历法推算以及天文观测等实践活动的作用;讲反证法时，向学生详细讲述伽利略是如何更正延续了1800多年的亚里士多德关于物体下落运动的错误断言;在理解仰角、俯角的概念时，可与“举头望明月，低头思故乡”联系;在理解直线与圆的位置关系时，可与“大漠孤烟直，长河落日圆”相联系;讲三视图的概念时，可与“横看成岭侧成峰，远近高低各不同、不识庐山真面目，只缘身在此山中”相联系;在理解随机事件、必然事件和不可能事件时，可与成语相联系(“守株待兔、滴水成冰、飞来横祸”是随机事件，“种瓜得瓜、种豆得豆、黑白分明、瓮中捉鳖”是必然事件，“水中捞月、海枯石烂、画饼充饥”是不可能事件)，使学生体会到数学与其他学科的密切联系、

　 五、结合课外活动，小组合作探究

　由于课堂时间有限而数学文化的内容包罗万象，单靠课堂时间进行数学文化教学是不足够的，课外活动也要凸显数学文化、要充分利用课外、校外的自然资源和社会资源，利用网络、报刊等各种渠道了解丰富的数学文化内容，以某种形式拓展到学生的课余生活中、可以通过举办数学文化知识竞赛，推荐与数学相关的有价值的作品，供学生课外阅读，拓宽他们的数学视野，再通过撰写读后感、数学作文并组织学生交流等多种形式，使数学文化的点点滴滴如春风化雨，滋润学生的心田、书籍类有美国数学家西奥妮帕帕斯写的《数学的奇妙》，陈诗谷、葛孟曾著的《数学大师启示录》，李心灿等著的《当代数学精英(菲尔兹奖得主及其建树与见解)》，张景中院士著的《数学家的眼光》《新概念几何》《漫话数学》《数学与哲学》等这些作品通俗易懂，都是传播数学文化，教学展现数学魅力的好书、还可以将学生分成小组，教师就某块内容或专题提供一些参考文献或选题，让学生利用课余时间从课外读物、因特网查找古今中外数学家的事迹，了解他们的成才过程、对数学的贡献及他们严谨治学、勇攀科学高峰的事迹，然后将收集到的故事编印后分发给学生交流，体会数学文化、例如就“多面体欧拉公式的发现”这一专题，由“直观———验证———猜想———证明———应用”层层推进，步步深入，追随着大数学家欧拉的足迹进行探索研究，不仅能掌握关于多面体的欧拉公式的来龙去脉，了解欧拉传奇的一生，还可以体会发现的艰辛，学习治学的态度，掌握研究的方法，提升学生的人文素质、这样，学生在小组合作中增长了数学文化知识，体验合作探究的乐趣，让数学充满智慧与生命、

　 六、结合教学评价，纳入数学考试

　虽然高中数学教材已经进一步改进，更大程度上体现数学文化内容，实验教材在每一章节或模块的始尾都有数学文化方面的介绍，但还都是阅读材料，教师认为学生能看明白，而学生认为考试不考，在教学中，往往是“考什么，教什么，学什么”，师生对此部分内容都未给予足够重视、平时注重的是对掌握知识、技能方面的情况进行考核和评价，呈现重数学知识，轻文化素养;重显性知识，轻隐性知识;重结果，轻过程等弊端、要让师生切实地感受到数学文化的重要性，应该以评价的方式促进高中数学文化的教学，可以把数学文化的相关内容根植于高考的试题之中，常规的考试中适当涉及常识性的数学文化内容、这样，高中教师在教学的同时就会自觉地将数学文化的内容尽可能与高中各模块的内容相结合，逐步地、系统地进行数学文化的传授、高中数学课程标准要求我们不仅要注重对学生数学知识的传递，还要重视数学文化内涵的传播，要树立数学文化观:充分发挥数学教育的两个功能即科学技术教育功能和文化教育功能、与数学知识和技能的教学不同，数学文化在数学教学中的体现形式应更为多样化和灵活化，这关键在于教师、首先，教师要提高自身的数学文化素养;其次，挖掘数学的文化内涵，努力营造数学文化氛围;再次，提升数学文化品位，在整合资源和优化课堂与活动方面下功夫、教师要善于在各个教学环节中合适而巧妙地渗透和传播数学文化，让数学文化走进课堂，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化熏陶，让学生不但是一个科学人，还是一个文化人，形成和发展数学品质，全面提高学生的数学素养。

美国数学建模竞赛论文

国数学建模竞赛论文

强烈的碰撞

美国国家航空和航天局（NASA）从过去某个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地球会产生的后果。

作为这种努力的组成部分，要求你们队来考虑这种撞击的后果，加入小行星撞击到了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比撞到地球的其它地方可能会有很不同的后果。

假设小行星的直径大约为1000米，还假设它正好在南极与南极洲大陆相撞。

要求你们对这样一颗小行星的撞击提供评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区的估计，对南半球海洋的食物生产的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的估计。

ap.com/undergraduate/contests/mcm/instructions.php

数学建模小论文：

你可以假设形状的影响因素就是截面积，速度的影响因素为kv（k为一个正数）。

那么阻力f=-kAv，A为截面积。

冰雹受到的合力F=G+f=ma。

这里还可以对冰雹的形状做进一步假设，如果是球，那么m=密度*球的体积, 体积可以和截面积A对应。

这样，如果k和A已知，那其实就只剩下v和a的方程了，将a=dv/dt，带入初始条件v=0, 以及初始高度，就可以解出微分方程了。

跪求数学建模小论文

摘要

本文采用k-NN法，从2491个网格点的预报雨量得到91个站点预报雨量的估计值，并与对应的实测雨量进行统计对比分析。我们建立了平均绝对误差、模糊评分、面雨量三个模型，对两种雨量预报方法进行比较评价，最后为了在评价方法中考虑公众的感受，我们还构造了一个新的评价模型。结果表明方法I和方法II具有较好的晴雨预报能力，但总体上方法I的准确性高于方法II。在上述两种雨量预报方法的基础上,我们还可采用动态权重系数法对其进行综合集成，形成一种新的预报方法，该方法的可靠性要好于每种单独的预报方法。

一． 问题重述

我国某地气象台和气象研究所正在研究6小时雨量预报方法，即每天晚上20点预报从21点开始的4个时段（21点至次日3点，次日3点至9点，9点至15点，15点至21点）在某些位置的雨量，这些位置位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上。同时设立91个观测站点实测这些时段的实际雨量，由于各种条件的限制，站点的设置是不均匀的。

气象部门希望建立一种科学评价预报方法好坏的数学模型与方法。气象部门提供了41天的用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据。

雨量用毫米做单位，小于0.1毫米视为无雨。

(1) 请建立数学模型来评价两种6小时雨量预报方法的准确性；

(2) 气象部门将6小时降雨量分为6等：0.1—2.5毫米为小雨，2.6—6毫米为中雨，6.1—12毫米为大雨，12.1—25毫米为暴雨，25.1—60毫米为大暴雨，大于60.1毫米为特大暴雨。若按此分级向公众预报，如何在评价方法中考虑公众的感受？

二． 符号说明

: 表示第 天，第 个时段，第 个观测站点雨量的实测值（

=1,2,3,4； ）

: 表示用第一种雨量预报方法测得第 天，第 个时段，第 个观测站点雨量的

预测值（ =1,2,3,4； ）

: 表示用第二种雨量预报方法测得第 天，第 个时段，第 个观测站点雨量的

预测值（ =1,2,3,4； ）

：表示第 天，第 个时段，第 个观测站点的实测雨级（ =1,2,3,4； ）

：表示用第一种预报方法测得第 天，第 个时段，第 个观测站点的预报雨级（ =1,2,3,4； ）

：表示用第二种预报方法测得第 天，第 个时段，第 个观测站点的预报雨级（ =1,2,3,4； ）

: 表示对第 种雨量预报方法在第 天，第 个时段，第 个观测站点的预测值的模糊评分（ =1,2,3,4； ）

：表示公众对用第c种预报方法测得的第 天，第 个时段，第 个观测站点的预报雨级的满意度（ =1,2,3,4； ）

三． 问题分析与数据处理

要评价两种雨量预报方法的准确性，就要在相同地点，相同时段对雨量的实测值和预测值进行比较。由于已知数据给出的91个观测站点的地理位置并不在用来预报的2491个网格点位置上，为了使得数据采集的地理位置相同，有两种思路对数据进行处理。一是把91个站点的实测数据扩充到2491个网格点上；二是利用2491个网格点的预报值给出91个站点的预报值。显然，第一种数据处理方式损失的信息比较多，而且是把预报值和处理过的实测值进行比较，其结果难以令人信服。第二种数据处理方式在保持91个观测站点的实测数据不被处理（从而保持实测数据真实可靠）的前提下，利用2491个网格点处的预报值来估计91个站点处的预报值；再对两种不同预报方法给出的预报值和实测到的数据分别进行比较。第二种方式虽然只在91个地点进行比较，但要比第一种方式更加有说服力。所以我们采取第一种数据处理方式，首先要利用2491个网格点的预报值给出91个站点的预报值。

有以下三种方法可以用来给出91个站点处的预报值。

1．k-最近邻居法（k-NN法）[1][2]

给定某个观测站点的位置后，从2491个网格点中找出距离这个站点最近的k个网格点，把这k个网格点处的预报值的平均值作为这个站点处的预报值。k的大小可以根据实际需要进行调整。

2．邻域平均法

对每个观测站点取相同的球形邻域或者正方形邻域，把邻域内网格点处的预报值的平均值作为站点处的预报值（邻域内的网格点的数目不一定相同）。当然邻域的大小可以根据实际情况进行调整。

3．二维插值法

可参见计算数学方面的参考书。

需要说明的是：二维插值法计算程序相对复杂，计算量也较大。k-NN法与邻域平均法都是利用站点周围网格点处的预报值的均值作为这个站点处的预报值。这两种方法计算相对简洁，同时也具有很高的精度。如果假设预报值在整个预报区域内是连续的话，在适当的条件下，k-NN法给出的估计将收敛到真实预报值（参见文献[1]，[2]等）。

进一步，可以认为距离站点近的网格点对站点的影响要大些，距离站点远的网格点对站点的影响要小些，因此可以根据这些影响的不同而赋予不同的权重。

本文采用3-NN法计算，以距离第 个观测站点最近的3个网格点的预报值的加权均值作为该观测站点的预报值(程序见附录)。

四． 问题（1）模型建立及求解

1．模型I

为了比较两种预报方法的预报质量，我们对其进行绝对误差值检验分析。误差值为预测值与实测值之差，绝对误差即对误差取绝对值。

第一种雨量预测方法在第 时段的平均绝对误差 = ;

第二种雨量预测方法在第 时段的平均绝对误差 =

结果如表1所示：

表1 两种预报方法的平均绝对误差

平均绝对误差

预测方法I

预测方法II

时段1(21点至次日3点)

1.8780

1.8712

时段2(次日3点至9点)

2.4936

2.4880

时段3(9点至15点)

2.1391

2.1426

时段4(15点至21点)

2.0347

1.9124

由表中得到以下结论：

两种预报方法的平均绝对误差都在2.5mm以内，但方法I和II的预报质量差距并不太大，在第一、二、四时段，方法I的平均绝对误差略小于方法II的平均绝对误差。

进一步我们还给出了两种预报方法的预报-实测相关图(图1)。图中落在斜率为1的直线上的点为实测结果，预测点则落在该直线附近，其偏离直线越远表示预报误差越大。从图中可以看出，这两种雨量预测方法的共同点是：在各个时段对实测雨量较大的预报，大多数均变小。这说明实况出现大雨时预报水平较差。

图1 两种预报方法的预报-实测相关图

2．模型II

为了较客观地评定两种预报方法，我们利用模糊数学中的模糊综合评判方法。模糊数学的创立者 L. A.Zadeh 为了描述和处理事物的模糊关系，把“属于”关系进一步数量化，即集合A 中的某个元素ui 对A 不是要么“属于”要么“不属于”关系而是可以不同程度的“属于”和不同程度的“不属于”，这个程度叫做隶属度。隶属度的范围在0 与1 之间,即ui 的隶属度值域是[0 ,1 ]。“属于”关系用函数关系表示,将论域与值域相对应,故形成子集合A 唯一确定的一个映射,它们一一对应。其特点是在众多的“属于”关系的评价指标基础上进行加权平均,得出一个无量纲的综合评价值,然后比较综合评价值的大小,对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价,这就是所谓的综合评判问题[6 ,7 ] 。根据所给的条件,给每个对象赋予一个评判指标,称之为模糊评分。

第 天，第 个时段，第 个观测站点的预测值的模糊评分为

（1）

式(1) 中第一项是预报基础分，规定为60 分；第二项为强度(量级)预报的加权分。当预报雨量与实况一致时(即预报与实况误差为0)，该预报评分为100。当预报有误差时,按其误差大小给分，误差越大，分值越低，相反分值越高，预报值越接近于实测值。可以看出,根据误差大小计算的模糊评分,能够很好地表征预报贴近实况的程度,从而较好地检验两种预报方法的预报水平[3]。

为了便于比较，我们给出了在各个时段的模糊评分公式。方法I和II在第 时段的模糊评分为

=1,2,3,4

=1,2,3,4

结果见表2。由表2可以看出，两种方法的模糊评分都在80分以上，预报质量都比较稳定，但在第一、二、四时段，方法I的模糊评分都高于方法II的模糊评分。由此可见，在对雨量预报的准确程度上，方法I高于方法II。

表2 两种方法的预报模糊评分

方法

时段

时段1

时段2

时段3

时段4

预报方法I

84.2593

83.8684

82.3264

80.1272

预报方法II

84.1566

83.6940

82.2567

80.5580

3．模型III

由于91个观测站点的设置是不均匀的，它们较集中地分布在53×47的矩形网格的中央区域内，而面雨量能够更真实地反映平面区域降水的总状况，因此我们用其作为评价这两种方法预报好坏的另一个标准。面雨量是单位面积上的降水量, 实际上为某一特定区域或流域的平均降水状况，它有多种计算方法，如算术平均法、泰森多边形法、逐步订正格点法、三角法、等雨量线法等[4]。

这里我们采用算术平均法计算面雨量：其计算公式如下：

第 种预报方法在第 时段的面雨量 ，

第 时段的实测面雨量

结果见表3。由表3可以看出，无论哪个时段，方法I的面雨量都比方法II更接近实测

值，由此可见，方法I的预报效果好于方法II。

表3 实测及两种方法的面雨量

面雨量

方法I

方法II

实测情况

时段1

1.1167

1.1029

1.4827

时段2

1.5837

1.5498

2.1179

时段3

1.3144

1.3128

1.8007

时段4

1.2437

1.0887

1.6362

五． 对问题2建模及求解

1．模型I

雨量按无雨、小雨、中雨、大雨、暴雨、特大暴雨定义为0～ 6 级，见表4 ;

表4 雨量等级划分表

雨量（mm）

<0.1

0.1-2.5

2.6-6

6.1-12

12.1-25

25.1-60

>60.1

名称

无雨

小雨

中雨

大雨

暴雨

大暴雨

特大

暴雨

雨级

0

1

2

3

4

5

6

在此基础上，我们可将预测雨量与实测雨量转化为相应的雨级，并计算出第 天，第 个时段，第 个观测站点的预测雨级的模糊评分为

（2）

同样我们也可得到方法I和II在第 时段的雨级模糊评分，结果见表5。

表5 两种方法的预报模糊评分（雨级）

方法

时段

第1时段

第2时段

第3时段

第4时段

方法I

86.1192

85.8709

84.5196

82.5788

方法II

85.9831

85.6847

84.4693

82.88772

从表5中我们也发现总体上方法I的预报能力优于方法II。

2．模型II

在评定两种方法的预报质量同时，我们需要考虑公众的感受，由于公众对雨量预报的感受都具有一定的模糊性，可以用{很满意，比较满意，基本满意，不满意}来代替。对此我们有两种方法：

（1） 若预报雨级与实测雨级一致，观众很满意，评分为100；若预报雨级与实测雨级相差一级，观众比较满意，评分为80；若预报雨级与实测雨级相差两级，评分为60；若预报雨级与实测雨级相差两级以上，观众不满意，评分为0。

（2） 采用模糊数学中的隶属函数来处理公众的感受。在隶属函数的选取上，在此这里选用偏大型中升岭形分布函数为隶属函数来处理公众的感受。升岭形函数公式为：

其中 是预报雨级与实测雨级差的绝对值[5]。

用上述两种方法都可以求出公众对第 天，第 个时段，第 个观测站点的预测雨

级的满意度 ，在此我们选取了方法(2)。最后把模糊评分和公众满意度的权重分配分

别确定为0.6和0.4，得到一个新的评价指标 为

=0.6 +0.4

对第 时段关于41天、91个站点求和平均得到预报方法I和II在这个时段的评价指标 ，结果见表6。

表6 两种方法的预报模糊评分（雨级）

方法\时段

第1段

第2段

第3段

第4段

方法I

86.2715

85.2865

84.5318

83.1993

方法II

86.2219

85.2148

84.5096

83.5206

由表6可见，考虑公众感受以后，总体上仍然是方法I优于方法II。

你可以根据自己的水平加以改写

数学建模试题 根据题目要求写一篇论文

B题一 洁具流水时间设计

我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四分之一。特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大面积的干旱。许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源消费。而另一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出60%以上。

某洁具生产厂家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。

方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。

方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也是T……在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。

该厂家随机调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间(单位：秒)见下表：

时间（秒） 12 13 14 15 16 17 18

人次 1 5 12 60 13 6 3

（1）请你根据以上数据，比较这两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的；

（2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。

其实，家庭中的其他生活用水一样可以用来冲洗马桶，比方说经过最后一次漂洗，衣服洗干净了，从洗衣机排出的水看上去还比较干净，直接流进下水管还真有点可惜。还有像洗完脸、洗过菜的水，如果能再次利用就好了。业余发明家吴汉平研制了一套生活用水回用装置，获得了国家专利。他将厨房的洗涤槽、卫生间的面盆和坐便器水箱连接到一个储水箱上。洗涤槽、面盆流出来的比较干净的水进入储水箱，供冲厕使用。

现在我来教你省水小秘方1.要用省水形马桶，般审型马桶加装2段式冲水配件。2.水箱底下浮饼拆下 即成无段式控制出水。

3.小便池自动冲水器冲水时间调短。 4.用米水、洗衣水、洗碗水及洗澡水等清水来浇花、洗车，及擦洗地板。5.清理地毯法由湿式或蒸汽式改成乾燥粉沫式。6.将除湿机收集的水，及纯水机、蒸馏水机等净水设备的废水回收再利用。

现在我说完了6项省水秘方，你是否想到比我更好的省水方法呢？你是否在省水呢？我想你应该在省水吧！

长期以来，人们普遍认为水是“取之不尽，用之不竭”的，不知道爱惜，而浪费挥霍。事实上，水资源日益紧缺，而我市的城市供水工作更是在严重缺水的边缘艰难度日，自来水来之不易。

人不可一日无水，水是生命之源，珍惜水就是珍惜自己的生命！在此，我们介绍一些日常生活中的节水常识：

刷牙

浪费：不间断放水，30秒，用水约6升。

节水：口杯接水，3口杯，用水0．6升。三口之家每日两次，每月可节水486升。

洗衣

浪费：洗衣机不间断地边注水边冲洗、排水的洗衣方式，每次需用水约165升。

节水：洗衣机采用洗涤—脱水—注水—脱水—注水—脱水方式洗涤，每次用水110升，每次可节水55升，每月洗4次，可节水220升。

另外，衣物集中洗涤，可减少洗衣次数；小件、少量衣物提倡手洗，可节约大量水；洗涤剂过量投放将浪费大量水。

洗浴

浪费：过长时间不间断放水冲淋，会浪费大量水。

盆浴时放水过多，以至溢出，或盆浴时一边打开水塞，一边注水，浪费将十分惊人。

节水：间断放水淋浴（比如脚踏式、感应式等）。搓洗时应及时关水。避免过长时间冲淋。

盆浴后的水可用于洗衣、洗车、冲洗厕所、拖地等。

炊事

浪费：水龙头大开，长时间冲洗。烧开水时间过长，水蒸汽大量蒸发。用自来水冲淋蔬菜、水果。

节水：炊具食具上的油污，先用纸擦除，再洗涤，可节水。

控制水龙头流量，改不间断冲洗为间断冲洗。

洗车

浪费：用水管冲洗，20分钟，用水约240升。

节水：用水桶盛水洗车，需3桶水，用水约30升。使用洗涤水、洗衣水洗车。使用节水喷雾水枪冲洗。利用机械自动洗车，洗车水处理循环使用。

节水小方法：

节约用水，利在当代，功在千秋，这是经过讨论同学们一起研究出一些生活节水小方法：

一、淘米水洗菜，再用清水清洗，不仅节约了水，还有效地清除了蔬菜上的残存农药；

二、洗衣水洗拖帕、帚地板、再冲厕所。第二道清洗衣物的洗衣水擦门窗及家具、洗鞋袜等；

三、大、小便后冲洗厕所，尽量不开大水管冲洗，而充分利用使用过的“脏水”；

四、夏天给室内外地面洒水降温，尽量不用清水，而用洗衣之后的洗衣水；

五、自行车、家用小轿车清洁时，不用水冲，改用湿布擦，太脏的地方，也宜用洗衣物过后的余水冲洗；

六、冲厕所：如果您使用节水型设备，每次可节水4一5kg；

七、家庭浇花，宜用淘米水、茶水、洗衣水等；

八、家庭洗涤手巾、小对象、瓜果等少量用水。宜用盆子盛水而不宜开水龙头放水冲洗；

九、洗地板：用拖把擦洗，可比用水龙头冲洗每次每户可节水200kg以上；

十、水龙头使用时间长有漏水现象，可用装青霉素的小药瓶的橡胶盖剪一个与原来一样的垫圈放进去，可以保证滴水不漏；

十一、将卫生间里水箱的浮球向下调整2厘米，每次冲洗可节省水近3kg；按家庭每天使用四次算，一年可节药水4380kg。

十二、洗菜：一盆一盆地洗，不要开着水龙头冲，一餐饭可节省50kg；

十三、淋浴：如果您关掉龙头擦香皂，洗一次澡可节水60kg；

十四、手洗衣服：如果用洗衣盆洗、清衣服则每次洗、清衣比开着水龙头节省水200kg；

十五、用洗衣机洗衣服：建议您满桶再洗，若分开两次洗，则多耗水120kg；

十六、洗车：用抹布擦洗比用水龙头冲洗，至少每次可节水400kg；

怎么写数学建模的论文

正文部分的开头：问题重述。

1、问题背景（借助参考文献、相关资料）。

2、对问题进行整理。

（问题一，….；问题二，…；问题三，…）。

两部分：问题背景；问题的题目。

要有条理，不要过于分散，注意逻辑。

不可直接复制粘贴！查重率高会失去参赛资格！

用自己的语言在原有所给赛题基础上重新描述，简洁明了。

写数学建模论文注意事项：

1、评定参赛队的成绩好坏、高低，获奖级别，数模答卷，是唯一依据。

2、答卷是竞赛活动的成绩结晶的书面形式。

3、写好答卷的训练，是科技写作的一种基本训练。

4、要重视的问题：摘要。包括：模型的数学归类（在数学上属于什么类型）；建模的思想（思路）；算法思想（求解思路）；建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验?）。

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